宫制的几何：分黄道、分空间与分半弧

宫制给出如何把观测者的天球关系组织成十二宫。它既有用于画宫尖的黄经结果，也可能有用于定位离开黄道对象的空间位置定义。宫制之间的几何差异，首先在于分割的圆、弧或运动时间。

公式中的符号

符号	含义与单位
λ、α、δ	黄经、赤经、赤纬；本组公式均用度，不把赤经小时数直接代入
θ / ARMC	子午线赤经，即地方恒星时乘15°；通常不等于 MC 的黄经
φ、ε	地理纬度（北正南负）、黄赤交角
Cₕ	第 h 宫宫尖的黄经，h 从1至12
S、N	昼半弧、夜半弧，以赤经度量；各方法对参照点的选取不同
atan2(y,x)	保留象限的反正切；公式输入、输出用同一角度单位
z、e、n、k	天顶、东点、北点、黄道北极的单位向量；×为叉积

黄纬为0°的黄道点有 δ=asin(sinε sinλ)、α=atan2(cosε sinλ,cosλ)。向量公式可统一在赤道直角坐标中写为 z=(cosφ cosθ,cosφ sinθ,sinφ)、e=(−sinθ,cosθ,0)、n=(−sinφ cosθ,−sinφ sinθ,cosφ)、k=(0,−sinε,cosε)。这样“投影到哪个圆”便有明确的几何含义。

整宫与以上升为第一宫尖的等宫

整宫以上升所在星座的 0° 为第一宫起点，随后每个星座为一宫；上升的实际度数仍保留。以上升为第一宫尖的等宫，则从上升精确黄经开始，每 30° 一宫。

给定上升在金牛 15°，即 45°。整宫第一宫区段为 30°—60°，第二宫为 60°—90°；等宫第一宫为 45°—75°，第二宫为 75°—105°。给定对象 65°，整宫为第二宫，等宫为第一宫。这个算例已经足以解释换宫，而无需改变天体位置。

四轴与象限

ASC、DSC、MC、IC 给出地平和子午线相关交点。若方法把它们安排在一、七、十、四宫宫尖，天球会形成四个象限；其他宫尖由各方法进一步分割。四轴的黄经间隔一般不保证都是 90°，因此不能把每个象限都假定为三段固定 30°。

整宫或某些等宫方法中，MC 的实际度数可以落在不同宫位。阅读时应区分“第十宫”与“MC 所在位置”，再说明所采用传统怎样同时解释两者。

几何方法的主要区别

方法	分割对象	几何条件
Porphyry	分割黄道上的轴间象限弧	轴和黄道区段
Regiomontanus	赤道分度与位置圆	赤道、地平南北点、投影
Campanus	卯酉圈分度与位置圆	地平与卯酉圈
Placidus	升落半弧中的时间比例	赤纬、纬度、昼夜半弧
Alcabitius	以上升的半弧组织象限分度	共同参照与对象自己的半弧

图中的分点表示构造顺序，不表示所有宫制算出相同宫尖。黄道分割直接给出黄经边界；空间分割先建立位置圆，再与黄道相交；半弧法则先指定参照点与运动比例。尤其是 Placidus，每个候选宫尖的赤纬又会改变它的半弧，因此需要反复求解。

各方法的完整构造和同条件十二宫尖分别见 Placidus、Alcabitius、Regiomontanus、Campanus、Porphyry。Koch与Polich–Page另有独立方法条目。

宫尖与对象宫位位置

黄道上的宫尖给出了可画在圆盘上的交点。对带黄纬的天体，某些方法还可以直接求它在空间宫位尺度上的位置。用对象黄经在哪两条宫尖之间来判宫，是另一种明确的简化。

因此两份宫尖表完全相同，天体宫位位置仍可能因纬度处理不同而出现差异。研究时写明采用黄经区间归属，还是具名空间位置公式；这样才能定位差异。

高纬度与定义域

某些对象在某些地理纬度不升不落，涉及升落时间比例的方法可能没有通常定义下的解。程序可能返回失败、采用替代宫制或给特定研究定义。替代结果应保留名称，不能悄悄继续称为原公式的常规结果。

这个问题也说明：宫制选择既要考虑传统阅读约定，也要理解几何条件。某方法可以计算宫尖，不代表所有对象、全部维度与任意地点都具备相同的有效域。

资料

Swiss Ephemeris 文档 §6 分宫几何和编程说明 §15—16提供几何与对象位置的参考。各方法的解释习惯需再查相应作者或流派资料。