Placidus 极下法 PU

PU 的黄道接触由指示点确定一个固定极高，然后让许诺点在同一极下与它接触。读这个方法时，先分清黄道固定极与本工具保留的世俗半弧政策。

指示点的极

由指示点的赤纬、半弧 SA、子午距 MD 和升差 AD 求：

pole = atan(sin(AD × MD / SA) / tan δS)
Q = asin(tan δ × tan pole)
OA = α − Q，或 OD = α + Q

这里的 AD、MD、SA 按指示点所在上下半球选择；东、西条件决定用哪一支。P、S 都使用 S 的固定极。δS 趋近0时采用连续极限，避免直接出现0/0。

相位先准备，再固定极

黄道相位点先生成，再按指定相位端和黄纬政策进入固定极计算。若改变指示端相位点，固定极本身也可能改变。

当前 PU 的世俗表格使用半弧位置尺度。这是显式保留的工具契约，不能声称世俗模式仍逐项执行同一个黄道固定极方程。

平行相位有独立政策

旧 PU 平行路径曾有崩溃问题，修复与回归记录已经保留。新框架区分旧特殊平行政策与一般黄道赤纬交点政策；“不会崩溃”不表示两种政策的数学含义自动相同。

对照时应保存平行/反平行、交点支与对象资格。高黄纬来源可能没有对应黄道赤纬交点，局部诊断需一并查看。

与 Topocentric 固定极的区别

Topocentric 文献固定极采用 atan(tanφ × MD/SA)。PU 则先取 sin(AD × MD/SA) 再除以 tanδS。两者在不少输入中接近，但不等价；不能用数值接近代替公式核对。

使用与边界

从合相和少量对象开始，固定维度与相位端，再逐项加入黄纬和平行。拱极、半弧退化和极下升差超域需要记录原因。盘面设置与表格分开，详见盘面说明。

资料：Morinus 对照基线；本工具当前的模式与平行政策见参数页和验证页。