天球、半弧与位置尺度

把天球想成包围观察者的球面。赤道、黄道和地平是不同的圆；同一对象可以用不同坐标描述。主限方法的区别，常在于选用哪一个圆或哪一种比例作为接触尺度。

本专题使用的坐标

赤经也常以时分秒表示。本专题统一用度，1小时赤经等于15°。ARMC 是赤道坐标，不能直接用 MC 的黄经替代。

一个会升落的对象，从升起到上中天的旋转角叫昼半弧；从落下到下中天的角叫夜半弧。这里采用：

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AD = asin(tan φ × tan δ)
昼半弧 SD = 90° + AD
夜半弧 SN = 90° − AD

相同赤经而赤纬不同的对象，半弧一般不同。Placidus 半弧法用各对象自己的半弧比例定位；Alcabitius 模型则用上升点的半弧建立共同的赤经象限格。二者都出现“半弧”，计算条件却不相同。

Regiomontanus、Campanus 使用穿过地平南北点的位置圆，但分度尺度不同。Sunshine 和 APC 也用位置圆，再分别与本命太阳、本命上升点的赤纬圈相交。这些赤纬圈是小圆，不应一律画成经过球心的大圆。

位置圆与参考圈可能没有合适交点。这样的接触有几何域限制，应保留原因，并让其他有效接触继续计算。

Placidus 极下与 Topocentric 文献固定极，根据指示点 S 求一个极高，再在同一个极下比较 P、S 的斜升或斜降。不能让两个对象各取自己的极，然后直接相减，冒充这一固定极条件。

两种方法的极高公式不同。详见Placidus 极下与Topocentric 文献固定极。

宫制告诉我们怎样划分天球或黄道；构造主限还需要选择连续位置函数、接触条件、相位维度、参考圈、逆投影及失败处理。

对采用位置函数 M 的研究模型，本工具使用如下冻结接触：

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wrap(M(αP − a, δP) − M(S) − q) = 0

这里 q 是作用于位置尺度的世俗相位。黄道模式先构造相位点，不再把同一个 q 重复加到 M 上。固定极方法有自己的接触方程，并不强行套用一个全局 M。

这说明为什么“支持某宫制的宫尖”与“支持一种完整主限法”需要分别说明。相关几何出处见资料页；公式和接触政策以本专题对应的方法页为准。

主限几何决定怎样求接触；显示宫制决定盘上怎样画宫尖。它们可以分别选择。若把宫尖选作指示对象，宫尖本身的坐标来自显示宫制，更换它也会改变计算输入。因此二者并非完全没有联系。